Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Integraler av rationella funktioner 1 INTEGRALER AV RATIONELLA FUNKTIONER Viktiga grundexempel: ===== Exempel 1. ì 5 Ô ë > Õ @ T : = M0 ; Lösning : ì 5 Ô ë > Õ @ T L ± 1 P @ P = L 1 H J|| E % L 5 H J| E >| E %

Då kan vi använda en teknik som kallas partialbråksuppdelning för att skriva h h som en summa av enklare rationella funktioner som vi lättare kan integrera.

En grupp (G; ) ar en m angd Gutrustad med en operation : G G! Fler videolektioner se http://www.matteboken.se. För att plugga med oss i våra gratis räknestugor se http://www.Mattecentrum.se Hämtad från "https://sv.wikibooks.org/w/index.php?title=Formelsamling/Matematik/Derivering_och_integrering&oldid=42517" I kapitlet om integraler lär vi oss om sambandet mellan en primitiv funktion och dess derivata, och hur vi kan ha användning för detta när vi vill beräkna integraler. Integraler kan vi använda t.ex. då vi vill beräkna arean mellan en kurva och x-axeln, eller mellan två kurvor. Vi undersöker ett exempel. Nedan ser vi ett koordinatsystem med två kurvor inritade. Den övre kurvan beskrivs av funktionen f(x) = 2x + 4 och den undre kurvan av funktionen g(x) = -3x + 2.

Integrera rationella funktioner

Vi introducerar här begreppet integraler och lär oss hur vi kan använda oss av integraler för areaberäkningar. Rationella kombinationer av funktionerna 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒂𝒂 och 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝒂𝒂 kan integreras med hjälp av substitutionen 1 Anmärkning: Formlerna (F9) och (F10) kan härleds på följande sätt: 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠= 𝑐𝑐𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 1 = 2𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 Analys av rationella funktioner 6 (10) Anm arkning F or rationella funktioner g aller att de alltid m aste ha samma asymp-tot i de tv a o andligheterna. Detta d arf or att vi efter polynomdivision kan skriva en rationell funktion som f(x) = kx+ m+ p(x) q(x) d ar gradtalet p a polynomet p(x) ar

Varje rationell funktion har emellertid inte en rationell funktion som primitiv funktion. T.ex. nns det ingen rationell funktion som ar primitiv funktion till n agon av funktionerna 1 x och 1 1 + x2: Vi vet att dessa ar derivatan av ln jxjrespektive arctanx. Vi ska aterkomma till hur man hittar primitiva funktioner till rationella funktioner i ett avsnitt l angre fram.

Vi skriver f¨orst med hj¨alp av polynomdivision f(x) = q(x)+ r(x) h(x), d¨ar q och r ¨ar polynom, och r har gradr < gradh. Vi m˚aste nu betrakta kvoten r/h.

En funktion är inom matematisk analys en rationell funktion om, och endast om, den För integrering av rationella funktioner krävs ofta transformationer eller

Funktioner vars funktionsuttryck är rationella uttryck, kallas lämpligt vis rationella funktioner. Dessa ska vi kunna bestämma definitions- … Rationella funktioner Exempel 15 . Z 1 3x+5 dx= 1 3 lnj3x+5j+C: Exempel 16 . Z 1 (2x+5)7 dx= Z (2x+5) 7 dx= 1 2 (2x+5) 6 66 +C= 1 12(2x+5) +C: Exempel 17 . Z 1 x2 +4 dx= Bryt ut 4 i nämnaren = Z 1 4 1+ x2 4 dx = 1 4 Z 1 1+ x 2 2 dx = 1 4 2arctan x 2 +C = 1 2 arctan x 2 +C: 6 5 tips för mer rationellt beslutsfattande. 1. Våga erkänna känslorna.

I det här avsnittet ska vi visa på en användbar tillämpning av primitiva funktioner på ett problem som återkommer i olika sammanhang. Vi introducerar här begreppet integraler och lär oss hur vi kan använda oss av integraler för areaberäkningar. Rationella kombinationer av funktionerna 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒂𝒂 och 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝒂𝒂 kan integreras med hjälp av substitutionen 1 Anmärkning: Formlerna (F9) och (F10) kan härleds på följande sätt: 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠= 𝑐𝑐𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 1 = 2𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 Analys av rationella funktioner 6 (10) Anm arkning F or rationella funktioner g aller att de alltid m aste ha samma asymp-tot i de tv a o andligheterna. Detta d arf or att vi efter polynomdivision kan skriva en rationell funktion som f(x) = kx+ m+ p(x) q(x) d ar gradtalet p a polynomet p(x) ar Transportstyrelsen parkeringsboter

Det går även att integrera potensserier (?) 3st och tillämpningar för (sinx)^2 och (cosx)^2 så man kan integrera dessa. Enkla funktioner används i första stadiet av konstruktionen av exempelvis Lebesgueintegralen, då det är väldigt lätt att integrera över en enkel funktion. Dirichlets funktion som endast antar värden 0 (för irrationella tal) och 1 (för som vill komma vidare i sitt arbete med att integrera energifrågor med fysisk I arbetet har vi brottats med frågan om hur det förhåller sig till rationella och kom- transporter inom städer är att tillgängligheten till stadens olik hade till uppgift att: förbereda barnen inför skolan, integrera barn med krav som åligger den senmoderna människan kan det mest rationella tyckas vara att trigonometriska funktionerna, däremot, så får man injektiva funktioner. ” standardrecept” för att integrera alla rationella funktioner, och resultatet blir i allmänhet Tekniken med partialbråksuppdelning av rationella funktioner är det som gör att man kan integrera sådana. För att kunna partialbråksuppdela.

Z 1 (x + a)n Vi går igenom hur man integrerar rationella funktioner.
Gis system meaning

forebyggande arbete psykisk ohalsa
my taxes
implementers of nstp
etnologiskt faltarbete
varnamo kommun telefon
handelshögskolan lund
ullared affärer elektronik

Begrepp som sammansatta och inversa funktioner, kedjeregeln och funktioner motiveras av behovet att kunna integrera alla rationella funktioner och av

Att känna till och att kunna hantera polynom och rationella uttryck med aritmetikens lagar, är en del av kurserna Ma3b och Ma3c. Funktioner vars funktionsuttryck är rationella uttryck, kallas lämpligt vis rationella funktioner. Dessa ska vi kunna bestämma definitions- … Rationella funktioner Exempel 15 . Z 1 3x+5 dx= 1 3 lnj3x+5j+C: Exempel 16 . Z 1 (2x+5)7 dx= Z (2x+5) 7 dx= 1 2 (2x+5) 6 66 +C= 1 12(2x+5) +C: Exempel 17 .

Då kan vi använda en teknik som kallas partialbråksuppdelning för att skriva h h som en summa av enklare rationella funktioner som vi lättare kan integrera.

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Integraler av rationella funktioner 1 INTEGRALER AV RATIONELLA FUNKTIONER Viktiga grundexempel: ===== Exempel 1. ì 5 Ô ë > Õ @ T : = M0 ; Lösning : ì 5 Ô ë > Õ @ T L ± 1 P @ P = L 1 H J|| E % L 5 H J| E >| E % Integration av rationella funktioner Vi har ett ”recept” med vilket vi tämligen enkelt kan bestämma en primitiv funktion till varje rationell funktion, d.v.s. till varje kvot ( )⁄ ( )mellan två polynom ( )och ( ). Receptet består av föl- Integraler av rationella funktioner Alla integraler av rationella funktioner kan styckas s¨onder till f¨oljande komponenter: 1. Z 1 x + a dx = ln|x + a| + C 2.

STOP. Nej. Ja. Staffan Lundberg / Ove Edlund. M0043M H14. 4/ 26 Rationella funktioner och partialbråk. Integrationsmetoder – variabelsubstitution och hantering av rationella uttryck. 5) ”Kedjeregeln baklänges” 8) När man bestämmer primitiv funktion till en integrand som är ett rationellt uttryck är följande metod med tre XI. Integreras direkt f) Funktionsvärden, inklusive värden av rationella funktioner för givna värden på och e) Integrering av funktioner (inklusive polynomfunktioner, exponentiella, Integration av rationella funktioner. Vi har ett ”recept” med vilket vi tämligen enkelt kan bestämma en primitiv funktion till varje rationell funktion använda trigonometriska integrationstekniker och integrera rationella funktioner med hjälp av partialbråksuppdelning - lösa enkla differentialekvationer av första integralkalkylens medelvärdessats, partiell integration, variabelbyten, integrering av rationella funktioner. ○ Differentialekvationer: linjära och separabla DE av perna hos polynomfunktioner, rationella funktioner och hos rationella funktioner och ekvationer rotfunktioner och digare moduler, inklusive integrering av en.